

## 1 . 原题快速复述与标准解

> **已知**
> $X\perp Y,\quad X\sim N(0,2),\;Y\sim N(-2,2)$
> **求** 常数 $a$，使
>
> $$
> \Pr(2X+Y<a)=\Pr(X>Y).
> $$

| 步骤 | 说明                                                        | 结果                                                          |
| -- | --------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------- |
| ①  | **差**：$D=X-Y\sim N\!\bigl(2,\;4\bigr)$                    | $\Pr(D>0)=\Pr\!\Bigl(Z>\tfrac{0-2}{2}\Bigr)=\Phi(1)=0.8413$ |
| ②  | **和**：$S=2X+Y\sim N\!\bigl(-2,\;10\bigr)$                 | 设 $Z=\dfrac{S+2}{\sqrt{10}}\sim N(0,1)$                     |
| ③  | 令 $\Phi\Bigl(\dfrac{a+2}{\sqrt{10}}\Bigr)=0.8413=\Phi(1)$ | $\dfrac{a+2}{\sqrt{10}}=1\Longrightarrow a=-2+\sqrt{10}$    |

> **答案**：$a=-2+\sqrt{10}$（选 B）

---

## 2 . 历年真题中的“同型”题目

| 年份          | 原卷题号                        | 题干摘要                                                                              | 关联技巧                    |
| ----------- | --------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------- |
| **2024 数一** | 选择 8⃣️（本题）                  | $\Pr(2X+Y<a)=\Pr(X>Y)$                                                            | 独立正态 *线性组合* ➜ 单变量正态     |
| **2023 数一** | 选择 7⃣️ ([kaoyan.eol.cn][1]) | 给定 $\Pr(X+Y<k)=0.7$ 求 $k$，其中 $X,Y$ 独立同分布 $N(0,1)$                                 | 和的分布 $N(0,2)$ ➜ 反查正态表   |
| **2019 数一** | 选择 6⃣️ ([kaoyan.eol.cn][2]) | 求 $\Pr(X-Y>c)=0.9$ 的 $c$，$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 与 $Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 独立 | 差的分布 $N(0,2\sigma^{2})$ |

> **命题规律**
>
> * 连续 **3 年** 在选择题考查“独立正态 → 线性组合或差/和的分布 → 利用 Φ 表求参数”。
> * 常见变式：① 概率给定求阈值；② 两概率相等求参数；③ 给定分位点求比率。
> * 基本套路：**写均值方差 → 标准化 → 读 Φ 表 / 对称性**。

---

## 3 . 考纲与教材定位

| 参考文件                               | 条目编号                         | 对应知识点                                                                     |
| ---------------------------------- | ---------------------------- | ------------------------------------------------------------------------- |
| **《全国硕士研究生招生考试数学（一）考试大纲》（最新版）**    | **概率论模块·5.4 “正态随机向量及其线性组合”** | ★“掌握独立正态的线性组合仍为正态，能求其均值、方差及概率”                                            |
| **盛骤/谢式千/潘承毅《概率论与数理统计》第 5 章 §5.4** | 5.4.2 线性组合                   | 给出公式 $Y=aX+bZ\sim N(a\mu_X+b\mu_Z,\;a^{2}\sigma_X^{2}+b^{2}\sigma_Z^{2})$ |
| **王厚培《概率论与数理统计》第 6 章 6.2**         | 多元正态分布                       | 同上；附典型例题“$\Pr(X>Y)$”                                                      |

---

## 4 . 再升级 ‑ 训练题（含解析）

> **挑战题**
> 设 $X\sim N(1,3),\;Y\sim N(2,4)$，独立。求常数 $c$，使
>
> $$
> \Pr\!\bigl(3X-2Y>c\bigr)=\Pr\!\bigl(X+2Y<0\bigr).
> $$

### ★ 参考解

| 步骤         | 说明                                                                                                                         |
| ---------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| ① **两侧分布** | $A=3X-2Y\sim N\!\bigl(3-4,\;9\cdot3+4\cdot4=43\bigr)=N(-1,43)$ <br> $B=X+2Y\sim N\!\bigl(1+4,\;3+4\cdot4=19\bigr)=N(5,19)$ |
| ② **右侧概率** | $\Pr(B<0)=\Pr\!\Bigl(Z<\frac{0-5}{\sqrt{19}}\Bigr)=\Phi(-1.147)=0.125$                                                     |
| ③ **设等式**  | 令 $\Pr(A>c)=0.125 \Rightarrow \Pr\!\Bigl(Z>\frac{c+1}{\sqrt{43}}\Bigr)=0.125$                                              |
| ④ **查表反求** | $\Pr(Z>1.15)\approx0.125 \Rightarrow \frac{c+1}{\sqrt{43}}=1.15$                                                           |
| ⑤ **结论**   | $c = 1.15\sqrt{43}-1\approx 6.547$                                                                                         |

> **点评**
>
> * 相比原题同时升级了 **系数维度** 和 **σ² 不相同** 两个难度；
> * 若你能一次写出均值/方差并在 2 分钟内找到 1.15 的分位点（或计算器 `norm.ppf`），说明该类题已驾轻就熟。

---

## 5 . 备考加速小提示

| 环节        | 时间控制  | 核心动作                                                |
| --------- | ----- | --------------------------------------------------- |
| **识别类型**  | 10 秒  | 看见“独立正态 + 线性表达 + 求概率/阈值”→ **立刻**想到“单变量正态”           |
| **写参数**   | 30 秒  | 手写 $μ=aμ_X+bμ_Y,\;σ^{2}=a^{2}σ_X^{2}+b^{2}σ_Y^{2}$  |
| **标准化**   | 20 秒  | $\Pr(S<k)=\Phi\!\bigl(\tfrac{k-μ}{σ}\bigr)$ 或反求 $k$ |
| **查 Φ 表** | ≤30 秒 | 熟记常用值 0, ±0.675, ±1, ±1.282, ±1.645, ±1.96, ±2.33   |

坚持在真题‑错题本中 **归档所有涉及线性正态组合的题目**，并用上表“时间节点”实战演练，你就离 **概率模块满分** 更近一步了！

[1]: https://kaoyan.eol.cn/shiti/shuxue/202212/t20221227_2263121.shtml "2023年考研数学一真题及答案解析—中国教育在线"
[2]: https://kaoyan.eol.cn/shiti/shuxue/201812/t20181224_1638381.shtml "2019考研数学（一）真题及答案—中国教育在线"


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