1 . 原题快速复述与标准解

已知 $X\perp Y,\quad X\sim N(0,2),\;Y\sim N(-2,2)$ 求常数 $a$ ，使
$\Pr(2X+Y<a)=\Pr(X>Y).$

步骤	说明	结果
①	差： $D=X-Y\sim N\!\bigl(2,\;4\bigr)$	$\Pr(D>0)=\Pr\!\Bigl(Z>\tfrac{0-2}{2}\Bigr)=\Phi(1)=0.8413$
②	和： $S=2X+Y\sim N\!\bigl(-2,\;10\bigr)$	设 $Z=\dfrac{S+2}{\sqrt{10}}\sim N(0,1)$
③	令 $\Phi\Bigl(\dfrac{a+2}{\sqrt{10}}\Bigr)=0.8413=\Phi(1)$	$\dfrac{a+2}{\sqrt{10}}=1\Longrightarrow a=-2+\sqrt{10}$

答案： $a=-2+\sqrt{10}$ （选 B）

2 . 历年真题中的“同型”题目

年份	原卷题号	题干摘要	关联技巧
2024 数一	选择 8⃣️（本题）	$\Pr(2X+Y<a)=\Pr(X>Y)$	独立正态线性组合 ➜ 单变量正态
2023 数一	选择 7⃣️ (kaoyan.eol.cn)	给定 $\Pr(X+Y<k)=0.7$ 求 $k$ ，其中 $X,Y$ 独立同分布 $N(0,1)$	和的分布 $N(0,2)$ ➜ 反查正态表
2019 数一	选择 6⃣️ (kaoyan.eol.cn)	求 $\Pr(X-Y>c)=0.9$ 的 $c$ ， $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 与 $Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 独立	差的分布 $N(0,2\sigma^{2})$

命题规律

连续 3 年 在选择题考查“独立正态 → 线性组合或差/和的分布 → 利用 Φ 表求参数”。

常见变式：① 概率给定求阈值；② 两概率相等求参数；③ 给定分位点求比率。

基本套路：写均值方差 → 标准化 → 读 Φ 表 / 对称性。

参考文件	条目编号	对应知识点
《全国硕士研究生招生考试数学（一）考试大纲》（最新版）	概率论模块·5.4 “正态随机向量及其线性组合”	★“掌握独立正态的线性组合仍为正态，能求其均值、方差及概率”
盛骤/谢式千/潘承毅《概率论与数理统计》第 5 章 §5.4	5.4.2 线性组合	给出公式 $Y=aX+bZ\sim N(a\mu_X+b\mu_Z,\;a^{2}\sigma_X^{2}+b^{2}\sigma_Z^{2})$
王厚培《概率论与数理统计》第 6 章 6.2	多元正态分布	同上；附典型例题“ $\Pr(X>Y)$ ”

挑战题 设 $X\sim N(1,3),\;Y\sim N(2,4)$ ，独立。求常数 $c$ ，使
$\Pr\!\bigl(3X-2Y>c\bigr)=\Pr\!\bigl(X+2Y<0\bigr).$

步骤	说明
① 两侧分布	$A=3X-2Y\sim N\!\bigl(3-4,\;9\cdot3+4\cdot4=43\bigr)=N(-1,43)$ $B=X+2Y\sim N\!\bigl(1+4,\;3+4\cdot4=19\bigr)=N(5,19)$
② 右侧概率	$\Pr(B<0)=\Pr\!\Bigl(Z<\frac{0-5}{\sqrt{19}}\Bigr)=\Phi(-1.147)=0.125$
③ 设等式	令 $\Pr(A>c)=0.125 \Rightarrow \Pr\!\Bigl(Z>\frac{c+1}{\sqrt{43}}\Bigr)=0.125$
④ 查表反求	$\Pr(Z>1.15)\approx0.125 \Rightarrow \frac{c+1}{\sqrt{43}}=1.15$
⑤ 结论	$c = 1.15\sqrt{43}-1\approx 6.547$

点评

相比原题同时升级了 系数维度 和 σ² 不相同 两个难度；

若你能一次写出均值/方差并在 2 分钟内找到 1.15 的分位点（或计算器 norm.ppf），说明该类题已驾轻就熟。

环节	时间控制	核心动作
识别类型	10 秒	看见“独立正态 + 线性表达 + 求概率/阈值”→ 立刻想到“单变量正态”
写参数	30 秒	手写 $μ=aμ_X+bμ_Y,\;σ^{2}=a^{2}σ_X^{2}+b^{2}σ_Y^{2}$
标准化	20 秒	$\Pr(S<k)=\Phi\!\bigl(\tfrac{k-μ}{σ}\bigr)$ 或反求 $k$
查 Φ 表	≤30 秒	熟记常用值 0, ±0.675, ±1, ±1.282, ±1.645, ±1.96, ±2.33

坚持在真题‑错题本中 归档所有涉及线性正态组合的题目，并用上表“时间节点”实战演练，你就离 概率模块满分 更近一步了！