信息论课堂研讨

pdf翻译

## The freshness will fade, but **responsibility** and **upbringing** will not.

Love is not about **controlling** and **taking**; it is about **long-term respect and acceptance**.

To enjoy the **tenderness** of a person, one must also be **willing to refuse all ambiguity** for them.

Love is not the **collision** of two bodies but the **attraction** of two souls.

**Novelty** is **exploring new things with old people**, not **repeating old stories with new ones**.

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## 句子分析与语法解析

### 1. **The freshness will fade, but responsibility and upbringing will not.**  
- **The freshness will fade**：主语 **The freshness**（新鲜感）+ **助动词 will**（表示将来）+ **动词 fade**（消退）。
- **but responsibility and upbringing will not**：对比结构，**will not** 省略了 **fade**，完整句子应为 **but responsibility and upbringing will not fade**。
- **翻译**：新鲜感会消退，但责任和教养不会。

### 2. **Love is not about controlling and taking; it is about long-term respect and acceptance.**  
- **Love is not about controlling and taking**：
  - **Love is about ...** 是常见句式，表示“爱关乎……”
  - **controlling and taking** 用 **动名词**（gerund）形式，表示“控制和索取”
- **it is about long-term respect and acceptance**：
  - **it** 指代 **Love**，
  - **long-term** 作为形容词修饰 **respect and acceptance**（尊重和接纳）。
- **翻译**：爱不是控制和索取，而是长久的尊重与接纳。

### 3. **To enjoy the tenderness of a person, one must also be willing to refuse all ambiguity for them.**  
- **To enjoy the tenderness of a person**：
  - **To enjoy**（不定式短语，作目的状语）
  - **the tenderness of a person**（名词短语，表示“一个人的温柔”）
- **one must also be willing to refuse all ambiguity for them**：
  - **one**（泛指某人）+ **must**（情态动词，表示必要性）+ **be willing to refuse**（愿意拒绝）。
  - **all ambiguity**（所有的暧昧），**for them**（为他们而拒绝）。
- **翻译**：想要享受一个人的温柔，也必须愿意为他拒绝所有的暧昧。

### 4. **Love is not the collision of two bodies but the attraction of two souls.**  
- **Love is not A but B**（固定句型）：爱不是 A，而是 B。
- **collision of two bodies**：
  - **collision**（名词，碰撞）+ **of two bodies**（两具身体的）
- **attraction of two souls**：
  - **attraction**（吸引）+ **of two souls**（两颗灵魂的）
- **翻译**：爱不是两具身体的碰撞，而是两颗灵魂的吸引。

### 5. **Novelty is exploring new things with old people, not repeating old stories with new ones.**  
- **Novelty is exploring new things with old people**：
  - **Novelty**（新鲜感）+ **is**（系动词）+ **exploring**（动名词作表语）+ **new things with old people**（和旧人探索新事物）。
- **not repeating old stories with new ones**：
  - **not repeating**（否定结构）+ **old stories with new ones**（用新的人重复旧故事）。
- **翻译**：新鲜感是与旧人探索新事物，而不是与新人重复旧故事。



英语短句



# 信息理论导论

## 1. 什么是信息？
- 信息理论从不同的角度定义信息，通常涉及信息的量化、编码和传输。

## 2. 如何测量信息？
- 测量信息通常通过“熵”来表示。熵度量了一个信源的不确定性，或者说消息的平均信息量。香农提出的熵定义是信息理论的基石。

## 3. 如何在空间（通信信道）和时间（存储媒介）中表示信息？
- 信息传输和存储不仅仅是关于数据本身，而是如何有效地编码和解码。信息需要通过合适的信道进行传输，并且需要使用合适的存储介质来存储和恢复。

## 相关定理

### 1. **源编码定理（Source Coding Theorem）**
- 这是信息理论中的一个重要定理，指出源信息可以通过最小化冗余来有效地进行编码。该定理为数据压缩提供了理论基础，强调了每个信息源的最小码长。

### 2. **香农第一编码定理（Shannon’s First Coding Theorem）**
- 该定理描述了如何将信息通过信道传输而不发生信息丢失。它提出了在给定信道容量的情况下，编码方案的有效性，并解释了编码如何在传输过程中最大化信息的传输。

### 3. **信道编码定理（Channel Coding Theorem）**
- 该定理提供了理论支持，说明在带有噪声的信道中，信息可以被有效地编码，使得传输可靠性最大化，尽管噪声存在。它提供了错误更正的框架，确保在信道中传输的信息能够正确无误地被接收。

### 4. **香农第二编码定理（Shannon’s Second Coding Theorem）**
- 该定理深入探讨了如何在有限的信道容量和噪声干扰下进行有效编码。它表明，给定一个信道的容量，存在某种编码方式可以达到零误差传输的概率。

# Shannon 熵的四个公理

## **Axiom 1（归一性，单位熵）**  
当只有两个等概率事件（如抛硬币）时，熵取 1 比特：
$$
H\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = 1
$$
这规定了熵的单位，通常以比特（bit）为单位。

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## **Axiom 2（单调性）**  
设有 $n$ 个等概率事件，则熵是关于 $n$ 的单调非减函数：
$$
h(n) = H\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n} \right)
$$
其中 $H(n)$ 随着 $n$ 递增，即：
$$
H\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) > H\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
$$
这表明，当可能的状态数增加时，不确定性也增加。

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## **Axiom 3（连续性）**  
如果概率分布发生微小变化，则熵的变化也应当是连续的，即：
$$
\lim_{p \to q} H(p) = H(q)
$$
这确保熵函数不会发生突变或不连续的跳变。

---

## **Axiom 4（分支性/递归性）**  
熵满足如下递归性质：
$$
H(P(x_{ij})) \quad \text{for} \quad 1 \leq i \leq k, \quad 1 \leq j \leq m.
$$
$$
= H\left(\sum_{j=1}^{m} P(x_{ij}) \quad \text{for} \quad 1 \leq i \leq k\right)  
$$
$$
+ \sum_{i=1}^{k} \left(\sum_{j=1}^{m} P(x_{ij})\right) H\left(\frac{P(x_{ij})}{\sum_{j=1}^{m} P(x_{ij})} \quad \text{for} \quad 1 \leq j \leq m\right)
$$
这意味着，如果一个系统可以分成多个部分，则其总熵可以拆分为部分熵和条件熵的加权和。

---
# 引理 1: 

 $$ h(nm) = h(n) + h(m) $$

## 证明步骤：

1. 设有 $$ nm $$ 个事件，假定这些事件的概率分布是均匀的，即每个事件的概率为：
   $$
   P(X_{ij}) = \frac{1}{nm}, \quad 1 \leq i \leq n, \quad 1 \leq j \leq m.
   $$

2. 我们可以将这 $$ nm $$ 个事件分成 $$ n $$ 组，每组包含 $$ m $$ 个事件。每组的总概率为：
   $$
   P(X_i) = \sum_{j=1}^{m} P(X_{ij}) = \frac{m}{nm} = \frac{1}{n}.
   $$

3. 根据信息熵的递归性（公理 4），总熵可以拆分为以下两部分：
   - 组之间的熵：$$ h(n) $$
   - 组内的条件熵：$$ h(m) $$

4. 因此，系统的总熵为：
   $$
   h(nm) = h(n) + h(m).
   $$

## 结论：
我们得到了总熵的分解公式：
$$
h(nm) = h(n) + h(m).
$$


# 引理2: 
$$ h(n) = \log_2n $$

## 证明

1. 根据引理一：
   $$
   h(2 \cdot 2) = h(2) + h(2) = 2h(2)
   $$
   推导出：
   $$
   h(2^2) = 2h(2)
   $$
   同样可得：
   $$
   h(2^3) = 3h(2)
   $$
   $$
   h(2^4) = 4h(2)
   $$
   


   一般地：
   $$
   h(2^k) = k \cdot h(2) = k
   $$

2. 对任意 $ n $，存在 $ k $，使得：
   $$
   2^k \leq n \leq 2^{k+1}
   $$

3. 根据公理 A2（单调性），有：
   $$
   h(2^k) \leq h(n) \leq h(2^{k+1})
   $$
   即：
   $$
   k \leq h(n) \leq k+1
   $$

4. 注意到：
   $$
   k \leq \log_2 n \leq k+1
   $$
   但并不能确定 $h(n) = log_2 n $
 











这些四个公理唯一地确定了 Shannon 熵的数学形式：
$$
H(P) = -\sum_{i} p_i \log p_i
$$





信息论

最近用到Burp，于是找了下吾爱破解上的注册机的原版，也就是没有后门的版本。顺带贴一个教程。

  
仅供学习交流使用！！  
1. BurpSuite 1.7 原版+注册机 下载地址：

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提取码：k187

  
2.注册机使用方法：  
首先需要完成安装java及环境变量配置。  
打开注册机：burp-loader-keygen.jar，然后点击run，license text 随便填，然后将生成的license 复制粘贴到打开的burp里，点击next

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![image.png](https://www.futuremind.icu/static/img/462021112e7e70f11020e0cd27c4b968.image.webp)
点击manual activation 手动激活  


![image.png](https://www.futuremind.icu/static/img/bb872c4d837ea14a1f46a3ddb36a5dc9.image.webp)
将request 粘贴到activation request ，将自动生成response，再粘贴到burp里最下面的response中，点击下一步
  
![image.png](https://www.futuremind.icu/static/img/adee1fc6c003dfb4c152a133cf7a2388.image.webp)
. 激活成功

【重点！！】第二次打开burp 要先打开burp-loader-keygen.jar ，再点击一下run，打开软件，否则直接打开主程序还是提示输入 license key。  
也就是可以新建一个burp-loader-keygen.jar的快捷方式，在burp-loader-keygen.jar中打开burp。  
比如

![image.png](https://www.futuremind.icu/static/img/6a43ec25a0d88c126cb9ab1fb7618efb.image.webp)

面向6G的编码技术研究报告

引言

The freshness will fade, but responsibility

信息理论导论

1. 什么是信息？